数学相似思维法

作者:高源 来源:原创

在数学思维过程中,借助相似理论,在数学模拟时论证模型与原型的相似性及将模型实验的结果外推到原型中去的合理性的一种认识方法。

实践的发展,摆脱了“物理模拟”的传统概念,突破了物理模拟的局限性,使模拟方法跨进了数学模拟的新天地。列宁曾经提出:“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程的‘惊人类似’中。”(《列宁选集》第2卷,人民出版社1972年版,第295页) 让我们来考察一下如下的两个系统: 一个是由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统,一个是由电阻、电感、电容组成的电路系统,如下图所示:

机械系统

电系统

两个数学形式相似的系统此机械系统在外力F (t) 作用下产生机械振荡,根据力学定律,其数学描述如下:

两电路系统在电压作用下产生了电振荡,根据电学定律,其数学描述如下:

可见这两个物理本质不同的系统其变量和参数彼此一一对应:距离X ………电量q速度dx/dt ………电流i=dq/dt外力F(t)………电源电压e(t)质量M ………电感L阻尼系统D ………电阻R弹簧系统K…… 电容的倒数1/C描述系统的数学形式相同 (即各量变和参数之间的关系彼此对应)。在自然界中,到处可以看见不同质的系统之间在数学形式上的这种相似性,还是这种相似性,为一种新的模拟方法——数学模拟方法提供了客观基础。数学模拟是以模型和原型之间在数学形式相似基础之上进行的一种模拟方法,它根据数学形式的同一性来导出相似标准,而不是根据共同的物理规律,模型在物理本性上不同于原型,这种模拟的理论基础已超出了原来相似三定理的界限,而是一种推广了的相似理论。(引自黄金南等的 《科学发现与科学方法》,华中工学院出版社出版)

数学相似思维方法对于数学方法的开拓性应用,对于建立边缘性科学,对于数学学科之间的研究都有十分重要的价值。

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