国学《勾股定理》赏析

勾股定理

【概说】

勾股定理是一个基本的几何定理，是数形结合的纽带之一。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。并总结出：勾三股四弦五。当直角三角形的两条直角边分别为3、4的时候，斜边就一定是5。结论扩展开是，直角三角形的两个直角边的平方之和等于斜边的平方。再进一步展开，当一个直角三角形的任意两条边确定之后，这个三角形就确定了。

用A、B和C分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么A2+B2=C2。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国又称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”（毕达哥拉斯发现了这个定理后，斩了百头牛作为庆祝，因此又称“百牛定理”）。法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现的时间都比中国晚，中国是最早发现这一几何宝藏的国家。

【故事锦囊】

1876年的一天傍晚，在美国华盛顿的郊外，一位中年人正在散步，欣赏着日落时的美景，他就是当时俄亥俄州议员加菲尔德。

他在散步的时候，发现附近的一个小石凳上坐着两个小孩，正在争论着什么。加菲尔德非常好奇，就走了过去，想看看他们在争论什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。加菲尔德便问他在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长是多少？”加菲尔德答道：“是5。”小男孩又问：“如果两条直角边分别为5和7，那么斜边又是多少？”加菲尔德不假思索地说：“斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又问：“先生，你能说出道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了。加菲尔德马上回到家里，一直琢磨小男孩今天给他出的难题。经过思考，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

这个直角梯形由2个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成的。3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，列出等式：

化简得

c2=a2+b2

这种证明方法用了梯形面积公式和三角形面积公式，证明起来更加简洁，在数学史上一度被传为佳话。

【知识库】

毕达哥拉斯树

毕达哥拉斯树是毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为“毕达哥拉斯树”。

两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。

利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论：

三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。