数与形的完美结合
1617年,荷兰奥伦治公爵的军队里来了一名22岁的博士生,他就是未来的数学家笛卡儿。
有一天,部队开到布雷达城,无所事事的笛卡儿漫步在大街上,忽然看见一群人围在一起议论纷纷,原来在一堵墙上贴着一张几何难题的悬赏启事。启事上说,谁能够解开此题谁就能获得本城最优秀数学家的称号。笛卡儿出于好奇于是就抄下了题目。他回到军营,专心致志地研究起了这道几何难题。两天后,他终于求得了答案。
荷兰多特学院院长毕克曼十分赏识笛卡儿的才华,劝他离开军队,从事数学研究。
笛卡儿没有离开军队,但仍然迷恋数学,尤其想钻研一下古希腊三大几何问题。说起这三大问题,还有一个很古老的传说:
2300多年前,在古希腊的第罗斯岛上,一场可怕的瘟疫正在蔓延,人们生活在死亡的恐怖之中。他们来到神庙前祈求:“万能的神啊,请赐予我们平安吧!”谁知神庙里的主人欺骗这些可怜的人们说:“我忠实的信徒们,神在保佑着你们,只要你们把上供的正方体祭坛,在不改变原来形状的情况下,把它的体积增大到原来的两倍,神就会高兴,就能免除你们的灾难。”
濒于死亡的人们听后立即去改造神的祭坛,他们把祭坛的每边棱长扩充到原来的两倍。但神庙的主人看后说:“这哪里是原来的两倍,这是原来的八倍了。神不高兴啊!”
人们听后赶忙拆了重建,他们把体积改成了原来的两倍,可形状却是一个长方体。神庙的主人训斥道:“该死的信徒们,你们怎么把祭坛的形状改变了呢,这不是戏弄神吗?当心还有更大的瘟疫!”
惊慌失措的人们急忙去找著名的学者柏拉图,把希望寄托在这位大智者的身上。谁知柏拉图和他的学生们无论怎么用直尺和圆规去画,也找不到正确的办法,于是,立方倍积问题便成了一道几何难题。
后来,希腊人又碰到了把一个已知角分成三等份和化圆为方问题。从此,立方倍积、三等份角和化圆为方这三个问题一直困扰着世世代代的数学家,不少人为此呕心沥血,穷尽毕生精力也找不到答案。这种状况一直持续了2000年。
笛卡儿认真总结前人的经验教训后,突发奇想:“古希腊这三大几何难题,采用尺和规作图的办法是不是根本就做不出来呢?”
1621年,笛卡儿退出军界,与数学家迈多治等朋友来到巴黎,潜心研究数学问题。1628年,他又移居资产阶级革命已经成功的荷兰,进行长达20年的研究。这是他一生最辉煌的时期。
他潜心从事哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域的研究。他的主要著作都是在荷兰完成的,其中在1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。这本书中的三个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。
有一天,疲惫不堪的笛卡儿躺在床上,望着天花板思考着数学问题。突然,他眼前一亮,原来,天花板上有一只蜘蛛正忙碌地编织着蛛网。那纵横交错的直线和圆线一下子启发了他。困扰他多年的“形”和“数”问题,终于找到了答案。他发现了这样的规律,如果在平面上画出两条交叉的直线,假定这两条直线互成直角,那么就出现4个90度的直角。在这4个角的任何一个点,我们都可以建立起点的坐标系。
他发现的这个概念简单到近乎一目了然,简直就是个伟大发现。它建立了平面上点的与点的坐标“x、y”之间的一一对应关系。进一步又建立了平面上点与曲线之间的一一对应关系。从而把数学的两大形态就是形与数结合了起来。不仅如此,笛卡儿还创造出了用代数方法解几何问题的一门崭新学科,那就是解析几何。
解析几何的诞生,改变了自古希腊以来延续了2000多年的代数与几何分离的趋向,从而推动了数学的巨大发展。虽然笛卡儿在有生之年没有解开古希腊三大几何问题,但他开创的解析几何却给后人提供了一把钥匙,成为当时科学发展迫切需要的数学工具。
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