两千多年的数学悬案

两千多年的数学悬案

只准用直尺和圆规，你能将一个任意的角两等分吗？这是一个很简单的几何作图题。在几千年前，数学家们就已掌握了它的作图方法。

在纸上任意画一个角，以这个角的顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出这段弧与两条边的交点A、B。

然后，分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，只要选用的半径比A、B之间的距离的一半还大些，这两段弧就会相交。找出这两段弧的交点C。

最后，用直尺将O点与C点连接起来。不难验证，直线OC已经将这个任意角分成了相等的两部分。

显然，采用同样的方法，是不难将一个任意角4等分、8等分或者16等分的；只要有耐心，将一个任意角512等分或者1024等分，也都不会是一件太难的事情。

那么，只准用直尺与圆规，能不能将一个任意角3等分呢？

这个题目看上去也很容易，似乎与两等分角问题差不多。所以，在2000多年前，当古希腊人见到这个题目时，有不少人甚至不假思索就拿起了直尺与圆规……

一天过去了，一年过去了，人们磨尽了无数支笔，始终也画不出一个符合题意的图形来！

由2等分到3等分，难道仅仅由于这么一点小小的变化，一道平淡无奇的几何作图题，就变成了一座高深莫测的数学迷宫？

这个题目吸引了许多数学家。公元前3世纪时，古希腊最伟大的数学家阿基米德，也曾拿起直尺与圆规，用这个题目测试过自己的智力。

阿基米德想出了一个办法。他预先在直尺上记一点P，令直尺的一个端点为C。对于任意画的一角，他以这个角的顶点O为圆心，以CP的长度为半径画半个圆，使这半个圆与角的两条边相交于A、B两点。

然后，阿基米德移动直尺，使C点在AO的延长线上移动，使p点在圆周上移动。当直尺正好通过B点时停止移动，将C、P、B三点连接起来。

接下来，阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动，使C点正好移动到O点，作直线OD。

可以检验，AOD正好是原来的角AOB的1/3。也就是说，阿基米德已经将一个任意角分成了3等分。

但是，人们不承认阿基米德解决了三等分角问题。

为什么不承认呢？理由很简单：阿基米德预先在直尺上作了一个记号P，使直尺实际上具备了有刻度的功能。这是一个不能容许的“犯规”动作。因为古希腊人规定：在尺规作图法中，直尺上不能有任何刻度，而且直尺与圆规都只准许使用有限次。

阿基米德失败了。但他的解法表明，仅仅在直尺上作一个记号，马上就可以走出这座数学迷宫。数学家们想：能不能先不在直尺上作记号，而在实际作图的过程中，逐步把这个点给找出来呢……

古希腊数学家全都失败了。无数的人都失败了。2000多年里，从初学几何的少年到天才的数学大师，谁也不能只用直尺和圆规将一个任意角三等分！一次接一次的失败，使得后来的人们变得审慎起来。渐渐地，人们心中生发出一个巨大问号：三等分一个任意角，是不是一定能用直尺与圆规作出来呢？如果这个题目根本无法由尺规作出，硬要用直尺与圆规去尝试，岂不是白费气力？

以后，数学家们开始了新的探索。谁要是能从理论上予以证明：三等分任意角是无法由尺规作出的，那么，他也就解决了这个著名的数学难题。

1837年，数学家们终于赢得了胜利。法国数学家闻脱兹尔宣布：只准许使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是根本不可能的！

这样，他率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫，了结了这桩长达2000多年的数学悬案。