趣说化圆为方问题

趣说化圆为方问题

古希腊数学家非常苛刻地限制几何作图工具，规定画几何图形时，只准许使用直尺和圆规，于是，一些本来很简单的几何作图题竟变成了著名的数学难题。除了三等分角问题和立方倍积问题之外，还有一个举世闻名的几何作图难题，叫做化圆为方问题。

据说，最先研究这个问题的人，是一个叫安拉克萨哥拉的古希腊学者。安拉克萨哥拉生活在公元前5世纪，对数学和哲学都有一定的贡献。有一次，他对别人说：“太阳并不是一尊神，而是一个像希腊那样大的火球。”结果被他的仇人抓住把柄，说他亵渎神灵，被抓进了牢房。

为了打发寂寞无聊的铁窗生涯，安拉克萨哥拉专心致志地思考过这样一个数学问题：怎样作出一个正方形，才能使它的面积与某个已知圆的面积相等？这就是化圆为方问题。

当然，安拉克萨哥拉没能解决这个问题。但他也不必为此感到羞愧，因为在他以后的2400多年里，许许多多优秀的数学家，也都未能解决这个问题。

有人说，在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人，都曾被化圆为方的问题所吸引过。几乎每一年，都有数学家欣喜若狂地宣称自己解决了化圆为方问题！可是，不久人们就发现，在他们的作图过程中，不是在这里就是在那里有着一点小小的但却是无法改正的错误。

化圆为方的问题看上去这样容易，却使那么多的数学家都束手无策，真是不可思议！年复一年，有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国的科学院，多得让科学家们没有时间去审读。1775年，法国巴黎科学院还专门召开了一次会议，讨论这些论文给科学院正常工作造成的“麻烦”，会议通过了一项决议，决定不再审读有关化圆为方问题的论文。

然而，审读也罢，不审读也罢，化圆为方问题以其特有的魅力，依旧吸引着成千上万的人。它不仅吸引了众多的数学家，也让众多的数学爱好者为之神魂颠倒。15世纪时，连欧洲最著名的艺术大师达·芬奇，也曾拿起直尺与圆规，尝试解答过这个问题。

达·芬奇的作图方法很有趣。他首先动手做一个圆柱体，让这个圆柱体的高恰好等于底面圆半径r的一半，底面那个圆的面积是πr2。然后，达·芬奇将这个圆柱体在纸上滚动一周，在纸上得到一个矩形，这个矩形的长是2πr，宽是r/2，面积是πr2，正好等于圆柱底面圆的面积。

经过上面这一步，达·芬奇已经将圆“化”为一个矩形，接下来，只要再将这个矩形改画成一个与它面积相等的正方形，就可以达到“化圆为方”的目的。

达·芬奇解决了化圆为方问题吗？没有，因为他除了使用直尺和圆规之外，还让一个圆柱体在纸上滚来滚去。在尺规作图法中，这显然是一个不能容许的“犯规”动作。

与其他的两个几何作图难题一样，化圆为方问题也不能由尺规作图法完成。这个结论是德国数学家林德曼于1882年宣布的。

林德曼是怎样得出这样一个结论的呢？说起来，还与大家熟悉的圆周率π有关呢！

假设已知圆的半径为r，它的面积就是πr2；如果要做的那个正方形边长是X，它的面积就是X2。要使这两个图形的面积相等，必须有。

X2=πr2

即X=πr。

于是，能不能化圆为方，就归结为能不能用尺规作出一条像πr那样长的线段来。数学家们已经证明：如果π是一个有理数，像πr这样长的线段肯定能由尺规作图法画出来；如果π是一个“超越数”，那么，这样的线段就肯定不能由尺规作图法画出来。

林德曼的伟大功绩，恰恰就在于他最先证明了π是一个超越数，从而最先确认了化圆为方问题是不能由尺规作图法解决的。

三大几何作图难题让人类苦苦思索了2000多年，研究这些数学难题有什么意义呢？有人说，如果把数学比作是一块瓜田，那么一个数学难题，就像是瓜叶下偶尔显露出来的一节瓜藤，它周围都被瓜叶遮盖了，不知道还有多长的藤，也不知道还有多少颗瓜。但是抓住了这节瓜藤，就有可能拽出更长的藤，拽出一连串数学成果来。

数学难题的本身，往往并没有什么了不起。但是，我们要想解决它，就必须发明更普遍和更强有力的数学方法来，于是这也推动着人们去寻觅新的数学手段。

例如，通过深入研究三大几何作图难题，开创了对圆锥曲线的研究，发现了尺规作图的判别准则，后来又有代数和群论的方程论若干部分的发展，这些，都对数学发展产生了巨大的影响。